Стратегии решения математических задач. Различные подходы к типовым задачам - Альфред Позаментье Страница 5

Давайте порассуждаем. Для начала заметьте, что все сказанное о коробке с ярлыком «Белые» в равной мере относится и коробке с ярлыком «Красные». Здесь существует своего рода симметрия. Поэтому, пусть Марк возьмет один бантик из коробки с ярлыком «Разноцветные». Если бантик окажется красным, то в этой коробке на самом деле находятся только красные бантики, поскольку они не разноцветные. Пометим ее как «Красные». Коробка с ярлыком «Белые» не может содержать чисто белые бантики, поэтому она должна получить ярлык «Разноцветные». Наконец, на коробку, ошибочно помеченную как «Красные», нужно наклеить ярлык «Белые».

Обратите внимание на то, что для решения каждой из рассмотренных задач необходимы всего лишь логическое рассуждение и размышление. Это ни в коей мере не означает, что логическое мышление не требуется при использовании других стратегий решения задач, однако задачи, представленные в этой главе, решаются почти исключительно путем логического рассуждения.

Задача 1.1

Макс начинает отсчитывать натуральные числа в порядке увеличения: 1, 2, 3, 4, …, а Сэм ведет отсчет с той же скоростью, но в обратном порядке от числа x: x, x — 1, x — 2, x — 3, x — 4, … Когда Макс доходит до 52, Сэм называет число 74. С какого числа (x) Сэм начал обратный отсчет?

Обычный подход

Столкнувшись с такой задачей, большинство людей обычно пытаются воспроизвести описанную ситуацию, т. е. выполнить одновременно процедуры отсчета, чтобы посмотреть, какой получится результат. Сложность здесь, однако, заключается в том, что начальное число для обратного отсчета неизвестно, поэтому, скорее всего, будут использоваться прямой отсчет и метод последовательного приближения. Это не только долго, но и очень трудно.

Образцовое решение

Подойдем к решению задачи логически. Макс отсчитал 52 числа, а значит и Сэм отсчитал такое же количество чисел. Можно представить 52-е число Сэма как x — 51. Как известно, это число равно 74. Таким образом, мы получаем уравнение x — 51 = 74, из которого следует, что x = 125.

Задача 1.2

У нас 100 кг свежих ягод, в которых 99 % массы приходится на воду. Через некоторое время содержание воды в ягодах уменьшается до 98 %. Сколько теперь весят ягоды?

Обычный подход

Чаще всего говорят, что после испарения 1 % воды вес ягод должен уменьшиться до 99 %, а значит ягоды весят 99 кг. Это неправильно!

Образцовое решение

Попробуем найти ответ путем логического рассуждения. Исходно в ягодах содержится 99 % воды, т. е. в них 99 кг воды и 1 кг сухого вещества, иначе говоря, масса сухих ягод составляет 1 %. Масса сухого вещества не меняется: в конце процесса сушки она так и останется равной 1 кг. Вместе с тем доля того, что не является водой, удваивается до 2 %.

Для того, чтобы нечто, имеющее фиксированное количество (1 кг сухого вещества в нашем случае), удвоило свою долю (с 1 % до 2 %), суммарное количество смеси должно уменьшиться в два раза. В начале у нас был 1 % сухого вещества, или а в конце — 2 %, или что сокращается до т. е. мы получаем 1 кг сухого вещества в 50 кг суммарной массы. Таким образом, в конце в ягодах остается 49 кг воды.

Задача 1.3

Во время школьного эксперимента Мигель многократно бросает обычный шестигранный игральный кубик. Он следит за каждой выпавшей цифрой и хочет остановиться, как только одна цифра выпадет три раза. Мигель останавливается после 12-го броска, и сумма выпавших цифр составляет 47. Какая цифра выпала третий раз? (Обычный шестигранный игральный кубик имеет цифры от 1 до 6.)

Обычный подход

Одно из решений — это взять игральный кубик и поэкспериментировать с ним. Получить точно 47 очков за 12 бросков довольно трудно, но даже если это и получится, то такое решение нельзя назвать изящным!

Образцовое решение

Давайте порассуждаем. За 11 бросков ни одна цифра не выпала три раза, иначе эксперимент закончился бы. Это означает, что пять цифр выпали дважды, а одна — лишь однократно. Обозначим эту цифру символом M. Если M выпадет в 12-м броске, то сумма будет равна 2 (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) = 42. Таким образом, сумма после 11 бросков составляет 42 — M. Если N — число, выпавшее в третий раз, то 42 — M + N = 47, а N — M = 5. Мы знаем, что N и M могут иметь значения только от 1 до 6. Единственные два числа из данного ряда, которые имеют разность 5, это 6 и 1. С учетом такого ограничения уравнение N — M = 5 имеет единственное решение, где M = 1, а N = 6. Таким образом, в третий раз выпала цифра 6.

Задача 1.4

Имеется треугольник, периметр которого численно равен его площади. Чему равен радиус вписанной в треугольник окружности?

Обычный подход

Обычно при решении этой задачи строят чертеж, как показано на рис. 1.1, и подбирают значения в попытке найти ответ. При таком подходе нужно быть готовым к разочарованиям.

Образцовое решение

Для решения этой задачи необходимо немного логики и следование поставленным условиям. Начнем с треугольника ABC, периметр которого равен p = AB + BC + CA. Обозначим символом O центр вписанной окружности с радиусом r. Площадь треугольника ABC равна сумме площадей треугольников AOB, BOC и COA с основаниями AB, BC и CA, соответственно, и высотой r. Это дает нам следующее уравнение: