Архимед. Закон Архимеда - Эугенио Мануэль Фернандес Агиляр Страница 27

0 ШАРЕ И ЦИЛИНДРЕ[¹ Здесь и далее перевод И. Н. Веселовского]

Книга I

Утверждение 2

Тогда выпуклой в одну и ту же сторону я называю такую линию, для которой прямые, соединяющие две произвольные ее точки, будут или все находиться по одну сторону этой линии, или же некоторые по одну ее сторону, другие же на самой линии, но никакая такая прямая не будет находиться по другую ее сторону.

Утверждение 33

Поверхность всякого шара равна его учетверенному большому кругу.

Утверждение 34

Всякий шар в четыре раза больше конуса, имеющего основание, равное большому кругу шара, а высоту, равную радиусу шара.

Следствие [из утверждения 34]

Из доказанного ясно, что всякий цилиндр, имеющий основанием большой круг шара, а высоту, равную его диаметру, будет в полтора раза больше шара и что поверхность его вместе с основаниями будет в полтора раза больше поверхности шара.

Утверждение 42

Поверхность всякого сферического сегмента, который меньше, чем полушарие, равна кругу, радиус которого равен прямой, проведенной из вершины сегмента до окружности круга, являющегося основанием сегмента.

Утверждение 44

Всякий сферический сектор равен конусу, имеющему основание, равное поверхности сферического сегмента, соответствующего этому сектору, а высоту, равную радиусу шара.

Книга II

Архимед приветствует Досифея.

Ты уже просил меня написать доказательства для тех проблем, формулировки которых я посылал к Конону; при изложении большей части их приходится пользоваться теоремами, доказательства которых я уже послал тебе, а именно: [...]

Утверждение 3

Третья задача была такова: данный шар рассечь плоскостью так, чтобы поверхности получившихся сегментов находились бы друг к другу в отношении, равном заданному.

ОБ ИЗМЕРЕНИИ КРУГА

Утверждение 1

Всякий круг равен прямоугольному треугольнику, причем радиус круга равен одной из прилегающих к прямому углу сторон, а периметр — основанию треугольника.

Утверждение 2

Круг к квадрату со стороной, равной своему диаметру, относится, как И к 14.

Утверждение 3

Периметр всякого круга равен утроенному диаметру с избытком, который меньше седьмой части диаметра, но больше десяти семьдесят первых частей.

О КОНОИДАХ И СФЕРОИДАХ

Утверждение 4

Всякая площадь, ограниченная эллипсом, имеет к кругу с диаметром, равным большему диаметру эллипса, то же самое отношение, что меньший диаметр эллипса к большему или к диаметру круга.

Утверждение 6

Площади, ограниченные эллипсами, находятся друг к другу в таком же отношении, как прямоугольники между диаметрами эллипсов.

Утверждение 19

Если дан сегмент какого-нибудь из коноидов, отсеченный перпендикулярной к оси плоскостью, или же сегмент какого- нибудь из сфероидов, не больший половины этого сфероида и точно так же отсеченный, то можно вписать в него объемную фигуру и описать около него другую, состоящую из имеющих равную высоту цилиндров, и притом так, чтобы описанная фигура была больше вписанной на величину, которая меньше любой наперед заданной величины.

Утверждение 21

[...] Всякий сегмент прямоугольного коноида, отсеченный плоскостью, перпендикулярной к оси, будет в полтора раза больше конуса, имеющего те же самые основания и ось, что и сегмент.

Утверждение 27

Если какую-нибудь сфероидальную фигуру рассечь плоскостью, проходящей через центр и перпендикулярной к оси,

то половина сфероида будет вдвое больше конуса, имеющего то же самое основание и ту же ось, что и сегмент.

О СПИРАЛЯХ

В книгах, которые были посланы через Гераклида, ты имеешь запись большей части тех ранее посланных Конону теорем, доказательства которых ты все время просил меня дать; в этой же книге я посылаю тебе запись некоторой части из оставшихся.

Утверждение 1

Если некоторая точка равномерно движется по какой-нибудь линии и на последней берутся две линии, то взятые линии будут иметь друг к другу то же самое отношение, что и времена, в течение которых точка прошла эти линии.

Утверждение 24

Площадь, заключенная между спиралью, описанной в течение первого оборота и первой из прямых, находящихся на начале вращения, будет третьей частью первого круга.

О РАВНОВЕСИИ ПЛОСКИХ ФИГУР

Книга I

Сделаем следующие допущения.

1. Равные тяжести на равных длинах уравновешиваются, на неравных же длинах не уравновешиваются, но перевешивают тяжести на большей длине.

2. Если при равновесии тяжестей на каких-нибудь длинах к одной из тяжестей будет что-нибудь прибавлено, то они не будут уравновешиваться, но перевесит та тяжесть, к которой было прибавлено.

3. Точно так же если от одной из тяжестей будет отнято что-нибудь, то они не будут уравновешиваться, но перевесит та тяжесть, от которой не было отнято.

Утверждение 1

Тяжести, уравновешивающиеся на равных длинах, будут тоже равны.

Утверждение 2

Неравные тяжести на равных длинах не уравновешиваются, но перевешивает большая.

Утверждение 6

Соизмеримые величины уравновешиваются на длинах, которые будут обратно пропорциональны тяжестям.