Число, пришедшее с холода. Когда математика становится приключением - Рудольф Ташнер Страница 6

Знаменательно, что самая известная история, в которой главную роль играет громадное число, родилась в Индии, в стране, где были изобретены ноль и позиционная система счисления. Это история о рисовых зернах и шахматной доске. У этой истории множество вариантов. В сказочном изложении она выглядит так.

Давным-давно, в незапамятные времена, один молодой магараджа правил огромной процветающей страной. Однажды магараджа влюбился в прекрасную принцессу. Они поженились. Перед счастливой парой открывалось безбрежное и чудесное будущее. Магараджа мудро управлял своей страной; крестьяне собирали богатейшие урожаи риса, а все подданные магараджи жили в достатке и довольстве. Но судьба оказалась жестокой к магарадже и его магарани. Она тяжело заболела, ни один врач не смог помочь ей, и через несколько дней она умерла. В стране воцарился глубокий траур, но больше других горевал овдовевший магараджа. Скорбь его была безмерна, и ничто не могло ее облегчить. В своем горе магараджа забыл обо всем, забыл о своей стране, забыл о своем долге заботиться о благе подданных. Страна стала приходить в упадок, урожаи риса становились все скуднее и скуднее, подданные зарабатывали все меньше денег и впадали в бедность. Обнищание населения приняло катастрофические масштабы. Придворные чувствовали себя абсолютно беспомощными, не зная, что сделать для того, чтобы остановить беду. Так продолжалось до тех пор, пока кто-то из придворных не вспомнил об одном старом мудреце, жившем в тесной келье где-то в горах. Было известно, что этот старик-мудрец почитался лучшим в мире советчиком. Откладывать было нельзя, и придворные решили во что бы то ни стало призвать мудреца во дворец с тем, чтобы он освободил владыку от печали и отвлек его от скорби по умершей супруге.

Мудрец вошел в покои магараджи, неся с собой квадратную доску, на которую были нанесены чередующиеся белые и черные квадраты. Этих квадратов было 64, по восемь квадратов в восьми рядах. Мудрец сел за стол напротив магараджи, который смотрел на него сквозь пелену слез, поставил между собой и магараджей доску и принялся расставлять на ней диковинные деревянные фигурки. В предпоследнем ряду на своем крае доски он расставил в ряд восемь крестьян (пешки), а затем, в ближнем к себе внешнем ряду, поставил по краям две башни (ладьи), рядом с ними, с обеих сторон, двух прыгунов (коней), рядом с которыми — тоже с обеих сторон — поставил двух бегунов (слонов). Остался промежуток в два квадрата. На эти квадраты мудрец поставил царя (короля), олицетворявшего магараджу, и царицу (ферзя), олицетворявшую магарани. Фигуры, которые мудрец расставил на своей стороне доски, были черными. Покончив с расстановкой, он принялся расставлять такие же, но белые фигуры на стороне магараджи. Делая это, мудрец вполголоса, словно сам себе, объяснял свои действия. Магараджа выглядел совершенно безучастным, но мудрец отлично понимал, что властитель не пропустил ни одного его слова. Расставляя фигуры, мудрец объяснял, как они ходят. Башни, например, только в горизонтальном и вертикальном направлениях, бегуны — только по диагонали, царь может ходить в любом направлении, но только на одну клетку, но вот царица… — в этот момент магараджа немного оживился и прислушался — царица могущественная фигура, она может ходить и по горизонтали, и по вертикали, и по диагонали, причем на любое расстояние. Попутно мудрец объяснил, как ходят крестьяне и прыгуны, как фигуры сбивают друг друга, а также рассказал, что такое «шах» и «мат».

— Может быть, нам стоит сыграть пробную партию? — негромко спросил мудрец, и магараджа, видя старания мудреца, не смог отказать ему в этой пустяковой просьбе. Он кивнул и сделал первый ход. После исчерпывающих объяснений мудреца магарадже даже удалось выиграть первую свою партию.

— Теперь я требую реванша, — сказал мудрец, снова расставив на доске фигуры.

Вторую партию магараджа проиграл.

— На этот раз реванша требую я, — объявил магараджа, и мудрец принял вызов, но попросил перенести партию на следующий день, так как магарадже надо было заняться неотложными государственными делами.

Мудрецу и в самом деле удалось отвлечь магараджу от его скорби. Правление его снова стало мудрым и успешным. Жизнь людей стала с каждым днем улучшаться, житницы снова стали наполняться рисом. Каждое утро магараджа и мудрец играли по две партии, и через некоторое время магараджа стал весьма искусным шахматистом. После игры магараджа уходил заниматься делами управления, а мудрец занимался медитацией.

Так продолжалось много недель и месяцев — до тех пор, пока мудрец не сказал магарадже, что считает выполненной свою миссию в его стране и хочет вернуться в свое горное убежище.

— Но я не могу отпустить тебя без награды, — возразил магараджа, — подумай, какой награды ты хочешь, и ты получишь ее, как бы велика она ни была. Ты избавил меня от печали и скорби, и никакая награда за это не может быть слишком большой.

— Я могу попросить самую большую, неизмеримую награду? — уточнил мудрец. Магараджа энергично кивнул, и мудрец положил на первую клетку шахматной доски рисовое зернышко. — На следующую клетку пусть положат два зернышка, а потом на каждую следующую клетку пусть укладывают вдвое больше зерен, чем на предыдущих. Я заберу весь рис, который покроет шахматную доску.

— Ты требуешь такой малости? — возмутился магараджа, но быстро успокоился, решив, что мудрец был бедняком, никогда не видел богатства и поэтому даже миска риса для него — целое состояние. Позвали слугу с ложкой рисовых зернышек, и он начал укладывать их, начиная с левого верхнего угла, по оговоренным правилам, то есть на каждую следующую клетку он клал вдвое больше зерен, чем было на предыдущей. Таким способом слуга заполнил первый ряд из восьми клеток:

1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128.

После того как слуга заполнил восемь клеток первого ряда, уложив на последнюю клетку 128 зерен (а всего он насчитал 255 зерен), ложка опустела. Поэтому на первую клетку второго ряда пришлась целая ложка рисовых зерен. Каждой следующей клетке соответствовало вдвое большее количество риса. Для восьми клеток второго ряда получилось следующее количество ложек: