Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике - Джон Дербишир Страница 46

Сходится ли она вообще когда-нибудь? Без сомнения. Если x равно ¹/₂,то сумма представляет собой просто-напросто выражение 1.1 из главы 1.iv, поскольку (¹/₂)² = ¹/₄, (¹/₂)³ = ¹/₈ и т.д. Следовательно, S(¹/₂) = 2, потому что именно к этому значению ряд и сходится. Более того, если вспомнить правило знаков, то (−¹/₂)² = ¹/₄, (−¹/₂)³ = −¹/₈ и т.д., а следовательно, S(−¹/₂) = ²/₃ согласно выражению 1.2 из главы 1.v. Аналогичным образом выражение 1.3 говорит нам, что S(¹/₃) = 1¹/₂ выражение 1.4 — что S(−¹/₃) = 1³/₄. Легко получить и еще одно значение для этой функции: S(0) = 1, поскольку нуль в квадрате, кубе и т.д. все равно равен нулю, и остается только единица, с которой ряд начинается.

Однако если x равен 1, то S(1) есть 1 + 1 + 1 + 1 + …, а этот ряд расходится. При x равном 2 расходимость еще более явная: 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + …. Когда x равен −1, происходит странная вещь: по правилу знаков сумма принимает вид 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + …. Такая сумма равна нулю, если взять четное число членов, и единице, если нечетное. Данное выражение определенно не убегает на бесконечность, но оно и не сходится. Математики рассматривают такое поведение как некоторый вид расходимости. Ситуация с x = −2 еще хуже: сумма 1 − 2 + 4 − 8 + 16 − … ведет себя так, словно убегает на бесконечность сразу по двум направлениям. Такая ситуация определенно далека от сходимости, и если вы скажете, что здесь налицо расходимость, то никто с вами спорить не будет.

Короче говоря, функция S(x) имеет значения, только когда x лежит в границах между −1 и 1, не включая сами границы. В других случаях у нее значений нет. В таблице 9.1 приведены значения функции S(x) для аргументов x между −1 и 1.

Таблица 9.1. Значения функции S(x) = 1 + x + x² + x³ + ….

Вот и все, что можно извлечь из бесконечной суммы. График этой функции показан на рисунке 9.1; на этом графике у функции нет вообще никаких значений к западу от −1 и к востоку от 1. Используя профессиональную терминологию, можно сказать, что область определения этой функции заключена строго между −1 и 1.

Рисунок 9.1. Функция S(x) = 1 + x + x² + x³ + ….

III.

Но смотрите, нашу сумму

S(x) = 1 + x + x² + x³ + x⁴ + x⁵ + …

можно переписать в таком виде:

S(x) = 1 + x(1 + x + x² + x³ + x⁴ + …).

Ряд в скобках здесь равен просто S(x): каждый член, встречающийся в одном, встречается также и в другом из двух выписанных выше рядов, а это и означает, что они совпадают.

Другими словами, S(x) = 1 + xS(x). Перенося самый правый член в левую часть, получаем равенство S(x) − xS(x) = 1, или, другими словами, (1 − x)S(x) = 1. Следовательно, S(x) = 1/(1 − x). Возможно ли, чтобы за нашей бесконечной суммой скрывалась столь простая функция, как 1/(1 − x)? Может ли равенство

1/(1 − x) = 1 + x + x² + x³ + x⁴ + x⁵ + x⁶ + … (9.2)

оказаться верным?

Без сомнения, может. Если, например, x = ¹/₂, то 1/(1 − x) равняется 1/(1 − ¹/₂), что есть 2. Если x = 0, то 1/(1 − x) равно 1/(1 − 0), что есть 1. Если x = −¹/₂, то 1/(1 − x) равняется 1/(1 − (−¹/₂)), т.е. 1:1¹/₂ что есть ²/₃. Если x = ¹/₃, то 1/(1 − x) равняется 1/(1 − ¹/₃) т.е. 1:²/₃, что есть 1¹/₂. Если x = −¹/₃, то 1/(1 − x) равняется 1/(1 − (−¹/₃)), т.е. 1:1¹/₃, что есть ³/₄. Все сходится. Для аргументов −¹/₂, −¹/₃, 0, ¹/₃, ¹/₂, при которых мы знаем значения функции, значения бесконечного ряда S(x) такие же, как и значения функции 1/(1 − x). Похоже, что этот ряд и эта функция — одно и то же.