Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике - Джон Дербишир Страница 31

Нет сомнения, что именно это имел в виду Гаусс, когда отверг предложение вступить в соревнование за награду, обещанную за доказательство Последней теоремы Ферма. Генриху Олберсу, который побуждал его участвовать, Гаусс ответил: «Должен сознаться, что теорема Ферма… не слишком меня интересует, поскольку я без труда мог бы произвести множество утверждений подобного типа, — таких, которые будет невозможно ни доказать, ни опровергнуть».

Следует, впрочем, сказать, что равнодушие Гаусса в данном случае — это точка зрения меньшинства. Задача, сформулировать которую можно в нескольких простых словах, но решить которую лучшие математические таланты не могут на протяжении десятилетий — или, как в случае гипотезы Гольдбаха или Последней теоремы Ферма, столетий, — обладает неотразимой привлекательностью для большинства математиков. Они знают, что могут прославиться, если решат ее, как это произошло с Эндрю Уайлсом, доказавшим Последнюю теорему Ферма. Из истории вопроса им также известно, что даже неудачные попытки могут привести к созданию мощных новых методов и получению новых результатов. И кроме того, никуда не делся «фактор Мэлори»: отвечая на вопрос «Нью-Йорк таймс», почему ему так хочется забраться на гору Эверест, Джордж Мэлори ^[50] ответил: «Потому что она есть».

V.

Связь между измерением и счетом такова. Поскольку нет никакого теоретического предела точности, с которой можно измерить некую величину, список всех возможных измерений бесконечен и при этом бесконечно измельчен. Между измерением, которое дает 2,3 дюйма, и измерением, которое дает 2,4 дюйма, имеются промежуточные, более точные результаты в 2,31, 2,32, 2,33, …, 2,39 дюйма, которые можно разбивать далее, и так до бесконечности. Поэтому мы можем совершить мысленное путешествие, в котором, переходя от одного результата измерения к любому другому, мы связываем их через бесчисленное количество других, расположенных между ними, и при этом никогда не возникнет проблемы, что нам будет не на что наступить. Эта идея связности — путешествия через пространство или некоторый интервал без необходимости перепрыгивать через пустоты — лежит в основе жизненно важных математических понятий непрерывности и предела. Другими словами, она лежит в основе всего анализа.

Наоборот, если мы занимаемся счетом, то между семью и восемью ничего нет; нам приходится совершать прыжок от одного числа к другому, причем между ними нет никаких камешков, по которым можно было бы скакать. Да, измеряя что-то, можно получить результат в семь с половиной дюймов, но нельзя насчитать семь с половиной объектов. (Ваше возражение могло бы быть таким: «А что, если у меня семь с половиной яблок? Разве это не высказывание о результате счета?» Я бы ответил: «Я могу разрешить вам выражаться таким образом, но только если вы уверены, что там ровно семь с половиной яблок, — в той же степени, в которой Ларри, Керли и Моу ^[51] — это ровно три человека. А что, если у вас 0,501 или 0,497 от целого яблока?» И если мы желаем разрешить этот вопрос, то мы немедленно попадаем в царство измерений. «Семь с половиной струнных квартетов» — это жульничество.)

Великое соединение арифметики и анализа — соединение счета и измерения, чисел staccato и чисел legato — возникло в результате исследования простых чисел, предпринятого Леженом Дирихле в 30-х годах XIX века. Дирихле (1805-1859), несмотря на свои имя и фамилию, был немцем из городка близ Кельна, где он и получил большую часть своего образования. ^[52] Тот факт, что он был немцем, уже сам по себе заслуживает небольшого отступления, ибо соединение идей из арифметики и анализа, выполненное Дирихле и Риманом, происходило на фоне широких социальных изменений в математике в целом — подъемом немцев.

VI.

Первая десятка величайших математиков, работавших в 1800 году, выглядела бы примерно так: Арган, Бойаи, Больцано, Гаусс, Жермен, Коши, Лагранж, Лаплас, Лежандр, Монж, Пуассон, Уоллес, Фурье. Другой автор, или даже тот же самый, но в другом настроении, мог бы, конечно, добавить или вычеркнуть одну-две фамилии, но это не повлияло бы на самое поразительное свойство данного списка: практически полное отсутствие в нем немцев. Единственный из них — Гаусс. Еще в списке один шотландец, один чех, один венгр и один «спорный» (Лагранж, нареченный при крещении Джузеппе Лагранджа, считается «своим» и в Италии, и во Франции). Все остальные — французы.

Работавших в 1900 году математиков было вообще намного больше, так что составление подобного списка на тот год с большей вероятностью привело бы к потасовке. Однако мне представляется, что следующие фамилии вызовут локально минимальное количество возражений: Адамар, Борель, Вольтерра, Гильберт, Дедекинд, Кантор, Каратеодори, Клейн, Лебег, Миттаг-Лефлер, Пуанкаре, Харди. Четыре француза, итальянец, англичанин, швед и пятеро немцев. ^[53]

Появление немцев на ведущих позициях в математике тесно связано с историческими событиями, которые мы вкратце рассмотрели в главах 1 и 2. При всех реформах Фридриха Великого поражение под Йеной в 1806 году показало пруссакам, что им предстоит еще пройти значительный путь по совершенствованию и модернизации своего государства. Подъем националистических чувств, питаемый, с одной стороны, долгими войнами с Наполеоном, а с другой — движением романтизма, стимулировал дополнительное ускорение реформ, несмотря на то что их тормозил (с точки зрения националистов) провал на Венском конгрессе идеи объединения всех говорящих по-немецки народов. В годы, последовавшие за Йеной, прусская армия подверглась реорганизации на основе всеобщей воинской повинности, было отменено крепостное право, были сняты ограничения на развитие промышленности, пересмотрены система налогов и вся финансовая система, а также проведены образовательные реформы Вильгельма фон Гумбольдта, уже упоминавшиеся в главе 2.iv. Более мелкие немецкие государства последовали примеру Пруссии, и довольно скоро Германия в целом превратилась в место, где привольно себя чувствовали наука, промышленность, прогресс, образование — и, разумеется, математика.