Золотой билет. P, NP и границы возможного - Лэнс Фортноу

В Америке почти у каждого второго есть смартфон. Этот маленький компьютер давно обогнал своих более крупных собратьев, которые еще каких-то двадцать лет назад считались очень мощными. Компьютеры снабжают нас информацией о мире и не дают в ней потеряться; позволяют выходить на связь почти из любой точки планеты; справляются с неимоверно сложными вычислительными задачами, будь то составление расписаний для загруженных аэропортов или моделирование космических явлений. Компьютеры распознают наши лица и голоса, регистрируют перемещения, определяют предпочтения и советуют книги, музыку и фильмы… не за горами то время, когда они будут сами управлять автомобилем. Похоже, для них в этом мире нет ничего невозможного?

На самом деле пока они могут не все. Из этой книги вы узнаете о вычислительных задачах, которые мы, вероятно, никогда не научимся быстро решать. Виной тому труднейшая математическая проблема с загадочным названием «P против NP» – главный вопрос теории алгоритмов, а, может, и всей математики или даже всей науки в целом.

Математический институт Клэя присвоил ей статус задачи тысячелетия. Всего таких задач семь, и за решение каждой из них институт предлагает приз в миллион долларов. Однако за вопросом «P против NP» стоит нечто большее.

P – это класс задач, которые на компьютере решаются относительно быстро. NP – задачи, для которых мы хотим найти оптимальное решение. Равенство P и NP означает, что любую поставленную задачу можно быстро решить. В этом случае наша жизнь сразу перейдет на совершенно новый уровень; медицина, наука, индустрия развлечений шагнут далеко вперед, и почти любой процесс можно будет автоматизировать.

Неравенство P и NP, в свою очередь, означает, что для некоторых задач быстрое решение не найдется никогда, и отнимает у нас всякую надежду на создание универсального алгоритма. Впрочем, это еще не повод опускать руки: для борьбы с «крепкими орешками» разрабатываются специальные методы, которые во многих случаях работают вполне приемлемо. По крайней мере мы знаем, какие техники здесь точно не годятся, и это знание помогает понять, в каком направлении двигаться.

В 2008 году главный редактор журнала Communications of the ACM Моше Варди предложил мне написать о проблеме статью. Ассоциация вычислительной техники, или ACM, – это крупнейшая международная организация, объединяющая специалистов в области компьютерных наук, а ее главный научный журнал Communications of the ACM публикует статьи на интересующие компьютерное сообщество темы.

Поначалу я пытался «сбагрить» работу кому-то еще, но потом все же сдался. «Вон физики же издают популярные статьи про теорию струн, – убеждал меня Моше. – И не только статьи, а целые книги! Так что, я думаю, у нас тоже получится объяснить всем теорию сложности и ее достижения». Я писал, ориентируясь на читательскую аудиторию журнала; речь в работе шла не столько о текущем статусе проблемы, который можно было бы описать одним словом – «открыта», сколько о методах борьбы с трудоемкими задачами. Статья The Status of the P versus NP Problem вышла в сентябре 2009 года и быстро побила все рекорды по скачиванию за всю историю существования сайта журнала.

Полная версия приключений P и NP осталась за кадром, однако популярность статьи говорила о том, что момент выбран верный и настало время познакомить с подробностями не только специалистов, но и широкую публику.

Статья послужила для книги каркасом; каждый параграф в итоге разросся в целую главу. Вдохновение я черпал в Краткой истории времени Стивена Хокинга, объясняющей физику на простых примерах и занимательных историях. Хокинг обошелся без формул и терминов; я попытался сделать то же, и, надеюсь, мне удалось в доступной форме изложить суть проблемы и показать ее важность.

Формальных определений вы здесь не найдете: хороших учебников и сайтов, излагающих математическое описание проблемы и связанные с ней результаты, сейчас и так довольно много. Цель книги – дать представление о том, что могут и чего не могут дать нам вычисления в век, когда мир уже невозможно представить без компьютеров.

Итак, вперед, к классам P и NP!